문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 르장드르 함수 (문단 편집) === 로드리게스 공식 === {{{+1 Rodrigues Formula }}} 제1종 르장드르 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle P_{n}=\frac{1}{2^{n} \cdot n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )] }}} 다음과 같은 식에서 출발하여 이를 증명하여 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle u := (x^{2}-1)^{n} )] }}} 양변을 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle u'=2nx(x^{2}-1)^{n-1} \, \to \, (x^{2}-1)u'=2nxu )] }}} 라이프니츠 미분 규칙을 이용해, 양변을 [math((n+1))]번 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (x^{2}-1)^{(k)}u^{(n+2-k)}=2n \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{(k)}u^{(n+1-k)} )] }}} 이때, 라이프니츠 미분 규칙에서는 [math(f^{(k)}=\mathrm{d}^{k}f/\mathrm{d}x^{k})], [[조합|[math( \binom{n}{k}={}_{n}\mathrm{C}_{k})]]]임을 상기하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} (x^{2}-1)u^{n+2}+2(n+1)xu^{n+1}+n(n+1) u^{n}&=2nxu^{n+1}+2n(n+1)u^{n} \\ (1-x^{2})u^{n+2}-2xu^{n+1}+n(n+1)u^{n}&=0 \\ (1-x^{2})\frac{\mathrm{d}^{2} u^{n}}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}u^{n}}{\mathrm{d}x}+n(n+1)u^{n}&=0 \end{aligned} )] }}} 이는 르장드르의 미분 방정식이므로 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n}=CP_{n}(x) )] }}} [math(C)]는 상수이다. 이상에서 라이프니츠 미분 규칙을 적용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} P_{n}(x)&=\frac{1}{C}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n} \\ &=\frac{1}{C} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} [(x+1)^{n}]^{(k)}[(x-1)^{n}]^{(n-k)} \end{aligned} )] }}} [math(P_{n}(1)=1)]로 규격화했으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} P_{1}(x)&=\frac{1}{C}n!\cdot(1+1)^{n}=1 \, \to \,C=2^{n}\cdot n! \end{aligned} )]}}} 따라서 다음과 같은 결과를 얻으며, 이를 제1종 르장드르 함수에 대한 '''로드리게스 공식(Rodrigues' formula)'''이라 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}\cdot n! } \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기